Рыбников родился 17 июля 1945 г. в Москве. Его отец был скрипачом, мать - художником-дизайнером. Рыбников начал увлекаться музыкой еще в детском возрасте: в 8 лет он написал несколько фортепианных пьес, в 11 лет - балет "Кот в сапогах".
Дебютом композитора стало исполнение собственной фортепианной сонаты "Хороводы", написанной на первом курсе консерватории. Дипломной работой композитора был концерт-баллада для скрипки с оркестром. По окончании аспирантуры Рыбников написал Первую симфонию, в последующие годы композитор стал автором еще пяти симфоний, создал ряд произведений симфонической, хоровой и камерной музыки.
С 1965 г. Алексей Рыбников пишет музыку к фильмам, первым опытом композитора стал короткометражный фильм "Лелька" (1966). Рыбниковым написана музыка более чем к 150 фильмам, среди которых - "Остров сокровищ" (1971), "Большое космическое путешествие" (1974), "Приключения Буратино" (1975), "Вам и не снилось..." (1980), "Тот самый Мюнхгаузен" (1981), "Мы" (1990), "Звезда" (2002). Был членом Союза кинематографистов СССР с 1979 г.
Рок-оперы
Широкую известность Рыбникову принесли написанные им рок-оперы "Звезда и смерть Хоакина Мурьеты" (на слова Павла Грушко) и "Юнона и Авось" (на основе поэмы Андрея Вознесенского), поставленные на сцене театра им. Ленинского комсомола режиссером Марком Захаровым в 1976 г. и 1981 гг. соответственно.
"Юнона и Авось" до сих пор не сходит со сцены театра. С 31 декабря 1985 года исполняется также Санкт-Петербургским театром "Рок опера".
В названии спектакля использованы имена двух парусников, "Юнона" и "Авось", на которых совершала свое плавание экспедиция Николая Резанова.
Композитор является лауреатом Государственной премии РФ 2002 г. в области киноискусства за работу над фильмом "Звезда". Награжден орденом Дружбы (2006), орденом Почета (2010).
Рыбников лауреат российской премии в области искусства "Триумф" (2007). За музыку к фильму "Звезда" получил призы кинофестиваля "Кинотавр" (2002), премии "Ника" (2003) и "Золотой орел" (2003).