Потомственный дворянин, представитель старинного рода, историк, теоретик краеведения как научной дисциплины, генеалог. Родился 23 июля 1859 г. в имении Березовка-Сабуровка Кирсановского уезда в семье офицера, обосновавшегося после отставки в Тамбовской губернии. Необходимое образование Алексей получил в частном учебном заведении в Москве, а затем, согласно семейной традиции, отправился на военную службу. С 1878 г. он состоял в лейб-гусарском Павлоградском полку, затем — в гусарском Нарвском полку в Козлове.
После того как вышел в отставку, он поселился в Тамбове, где жил с 1884 г. до конца своих дней. Несмотря на то, что Алексей Николаевич не имел желания посещать занятия в университете, так как, по его мнению, там «имеют обыкновение учить всему, кроме веры в Бога и уважения к прошлому», он самостоятельно приобрел обширные и фундаментальные знания по истории, преимущественно мировых религий, генеалогии, краеведению, философии и т. п. Он основательно овладел древними восточными языками и, в духе своего времени, увлекался мистицизмом. Его доклад по спиритуализму был опубликован в 1889 г. во Франции. Так же на иностранные языки переведены другие его работы: «Мистерии древнего мира и значение их символизма», «Символ чаши в христианской иконографии и истории», представляющие собой главы незаконченного научного труда о роли мистики в развитии различных мировых религий, задуманного А. Н. Норцовым. Значительное влияние на него оказали философы Н. Я. Данилевский, К. Н. Леонтьев, В. С. Соловьев. Находясь под воздействием идей о панмонголизме, Алексей Николаевич издал в 1909 г. «Путь солнца в процессе мирового движения», в котором обосновал возможность «порабощения Европы азиатскими народами». Такие настроения, склонность к чему-то иррациональному, интерес к оккультным наукам и практикам были характерны для начала ХХ столетия. Они нашли отражение и в литературном творчестве А. Н. Норцова, которое весьма разнообразно − стихотворения, повести, пьесы.
Сохранились неопубликованные им переводы произведений индийского эпоса и немецкой поэзии. В этой связи, необходимо отметить, написанную А. Н. Норцовым в годы Первой мировой войны трилогию об истории развития отношений враждующих народов «Славяне и немцы». В ней Алексей Николаевич стремился доказать различие национальных менталитетов, противопоставляя немецкому «кулаку − славянскую беспечность, доверчивость и великодушие». Эта работа была явно политически ангажирована и компилятивна. Однако основанием для неё послужил широкий круг новейших для того времени отечественных и зарубежных научных исследований.
К изучению истории Тамбовской губернии А. Н. Норцов приступил, увлекшись генеалогией дворянства. Наиболее известный его труд обобщающего характера «Материалы для истории Тамбовского, Пензенского и Саратовского дворянства». Первый том (планировалось − четыре) был опубликован в 47-м выпуске «Известий Тамбовской учёной архивной комиссии» в 1904 г. Учитывая тот факт, что Алексей Николаевич был в родстве с Н. С. Мартыновым, убившем на дуэли великого русского поэта М. Ю. Лермонтова, современным литературоведам может быть интересна работа А. Н. Норцова «Материалы для истории дворянских родов Мартыновых и Слепцовых с их ветвями» (1904). Также Алексей Норцов впервые выпустил в свет мемуары Николая Мартынова (1815−1875), двоюродного брата его бабушки Е. Д. Слепцовой.
Известный тамбовский краевед советского периода П. Н. Черменский считал, что генеалогические изыскания А. Н. Норцова «более всего отвечали его интересам и талантам». Для того, чтобы создать свою родословную Алексею Николаевичу необходимо было ознакомиться с документами из фонда ТГУАК, к председателю которой, И. И. Дубасову, он и обратился с соответствующей просьбой. Впоследствии Иван Иванович предложил Алексею Николаевичу войти в состав этого исторического общества. А. Н. Норцов был избран членом комиссии 11 октября 1898 г., затем он занял должность товарища председателя, а после отъезда И. И. Дубасова в Курск, Алексей Николаевич был назначен 11 сентября 1900 г. председателем ТГУАК (вторым и последним за всё время её существования). Он значительно улучшил материальное положение комиссии и привлёк внимание к её деятельности лучших представителей власти и дворянского сословия.
Алексей Николаевич стремился к расширению круга тем краеведческих исследований и приступил к разработке комплексной программы изучения Тамбовской губернии, то есть всей совокупности археологических, этнографических и других объектов, фольклора, диалектов и т. п. А. Н. Норцов не только создал проект подобной программы, но и описал ряд храмов и монастырей; составил историко-археологическую карту, особенно Темниковского уезда; подготовил объёмную (более тысячи страниц) рукопись «Историко-статистический обзор Тамбовского края»; систематизировал архивные фонды ТГУАК и опубликовал сведения о них.
Его приняли в свои ряды учёные архивные комиссии других губерний, Историко-родословное общество, Московский и Петербургский археологические институты, Общество ревнителей истории, Русское генеалогическое общество, парижское теософское общество «Гермес», венский «Теософский союз» и другие иностранные общественные организации.
Личная библиотека А. Н. Норцова была внесена в «Адресную книгу русских библиофилов» (1904). Её фонд составлял более 4-х тысяч томов по истории, философии, лингвистике, оккультизму и другим отраслям знания, включая редчайшие средневековые фолианты. Из них в Тамбовской областной универсальной научной библиотеке им. А. С. Пушкина находятся около 250 выявленных изданий.
После установления Советской власти Алексей Николаевич сложил с себя полномочия председателя ТГУАК и стал сотрудником Главного управления архивного дела РСФСР. Ему поручили руководить работой по сохранению исторических и художественных ценностей на территории Тамбовской губернии. К сожалению, в 1919 г. он покинул этот пост из-за конфликта с научно-архивным подотделом Тамбовского губнаробраза. Его политические взгляды были признаны антисоветскими и несовместимыми со службой в государственных органах. Алексей Николаевич собирался уехать из Тамбова, но заболев в начале 1922 г. крупозным воспалением лёгких, 24 февраля он скончался и был похоронен на Петропавловском кладбище.